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圖 3-14 展示了集成到 SMO 中的傳統(tǒng) PLL。

圖 3-14 包含用于 PMSM 的 PLL 的 eSMO 方框圖

這里構(gòu)建了傳統(tǒng)的降階滑模觀測器，其數(shù)學(xué)模型如方程式 25 所示，方框圖如圖 3-15 所示。

方程式 25.

[\begin{matrix} {\dot{\hat{i}}}_{α} \\ {\dot{\hat{i}}}_{β} \end{matrix}] = \frac{1}{L_{d}} [\begin{matrix} {- R}_{s} & - {\hat{ω}}_{e} (L_{d} - L_{q}) \\ {\hat{ω}}_{e} (L_{d} - L_{q}) & {- R}_{s} \end{matrix}] [\begin{matrix} {\hat{i}}_{α} \\ {\hat{i}}_{β} \end{matrix}] + \frac{1}{L_{d}} [\begin{matrix} V_{α} - {\hat{e}}_{α} + z_{α} \\ V_{β} - {\hat{e}}_{β} + z_{β} \end{matrix}]

其中

方程式 26.

[\begin{matrix} z_{α} \\ z_{β} \end{matrix}] = [\begin{matrix} k_{α} s i g n ({\hat{i}}_{α} - i_{α}) \\ k_{β} s i g n ({\hat{i}}_{β} - i_{β}) \end{matrix}]

其中

如果 $k_{α}$ 和 $k_{β}$ 是足夠大的正值，以提供 SMO 的穩(wěn)定運行，然后 $k_{α}$ 和 $k_{β}$ 足夠大，以保持 $k_{α} > m a x ? (|e_{α}|)$ 和 $k_{β} > m a x ? (|e_{β}|)$ 。

圖 3-15 傳統(tǒng)滑模觀測器的方框圖

α-β 軸上的 EEMF 估算值（ ${\hat{e}}_{α}$ 、 ${\hat{e}}_{β}$ ）可通過低通濾波器從不連續(xù)開關(guān)信號中獲得，這些信號為 $z_{α}$ 和 $z_{α}$ ：

方程式 27.

[\begin{matrix} {\hat{e}}_{α} \\ {\hat{e}}_{β} \end{matrix}] = \frac{ω_{c}}{s + ω_{c}} [\begin{matrix} z_{α} \\ z_{β} \end{matrix}]

其中

因此，轉(zhuǎn)子位置可以直接通過反電動勢的反正切計算得出，其定義如方程式 28 所示：

方程式 28.

{\hat{θ}}_{e} = - \tan^{- 1} ? (\frac{{\hat{e}}_{α}}{{\hat{e}}_{β}})

低通濾波器消除了滑模函數(shù)的高頻項，從而導(dǎo)致出現(xiàn)相位延遲?？梢酝ㄟ^截止頻率 $ω_{c}$ 和反電動勢頻率 $ω_{e}$ 之間的關(guān)系對其進行補償，定義如方程式 29 所示：

方程式 29.

? θ_{e} = - \tan^{- 1} ? (\frac{ω_{e}}{ω_{c}})

這樣使用 SMO 方法估算的轉(zhuǎn)子位置就如方程式 30 所示：

方程式 30.

{\hat{θ}}_{e} = - \tan^{- 1} ? (\frac{{\hat{e}}_{α}}{{\hat{e}}_{β}}) + ? θ_{e}

在數(shù)字控制應(yīng)用中，需要使用 SMO 的時間離散方程。歐拉法是變換為時間離散觀測器的合適方法。在 α-β 坐標(biāo)中，方程式 25 的時間離散系統(tǒng)矩陣由方程式 31 給出：

方程式 31.

[\begin{matrix} {\hat{\dot{i}}}_{α} (n + 1) \\ {\hat{\dot{i}}}_{β} (n + 1) \end{matrix}] = [\begin{matrix} F_{α} \\ F_{β} \end{matrix}] [\begin{matrix} {\hat{\dot{i}}}_{α} (n) \\ {\hat{\dot{i}}}_{β} (n) \end{matrix}] + [\begin{matrix} G_{α} \\ G_{β} \end{matrix}] [\begin{matrix} V_{α}^{*} (n) - {\hat{e}}_{α} (n) + z_{α} (n) \\ V_{β}^{*} (n) - {\hat{e}}_{β} (n) + z_{β} (n) \end{matrix}]

其中

方程式 32.

[\begin{matrix} F_{α} \\ F_{β} \end{matrix}] = [\begin{matrix} e^{- \frac{R_{s}}{L_{d}}} \\ e^{- \frac{R_{s}}{L_{q}}} \end{matrix}]

方程式 33.

[\begin{matrix} G_{α} \\ G_{β} \end{matrix}] = \frac{1}{R_{s}} [\begin{matrix} {1 - e}^{- \frac{R_{s}}{L_{d}}} \\ 1 - e^{- \frac{R_{s}}{L_{q}}} \end{matrix}]

方程式 27 的時間離散形式由方程式 34 給出：

方程式 34.

[\begin{matrix} {\hat{e}}_{α} (n + 1) \\ {\hat{e}}_{β} (n + 1) \end{matrix}] = [\begin{matrix} {\hat{e}}_{α} (n) \\ {\hat{e}}_{β} (n) \end{matrix}] + 2 π f_{c} [\begin{matrix} z_{α} (n) - {\hat{e}}_{α} (n) \\ z_{β} (n) - {\hat{e}}_{β} (n) \end{matrix}]