ZHCADB3 November 2023 OPA2387 , OPA387 , OPA4387 , RES11A , RES11A-Q1

4 推導(dǎo)差分放大器的差分和共模增益

本節(jié)詳細(xì)介紹差分放大器電路的差分和共模增益的逐步推導(dǎo)。這些增益公式用于確定差分放大器的 CMRR，它是電阻器網(wǎng)絡(luò)絕對(duì)電阻的函數(shù)。以下各節(jié)將使用得到的關(guān)系來(lái)推導(dǎo)分立式電阻器容差 t 和匹配比率容差 t_m 的簡(jiǎn)化 CMRR 公式。

圖 4-1 展示了典型的差分放大器電路。假設(shè)有一個(gè)理想運(yùn)放，可以應(yīng)用基爾霍夫電流定律 (KCL) 和基爾霍夫電壓定律 (KVL) 來(lái)確定傳遞函數(shù)。理想運(yùn)放假設(shè)反相輸入電壓 (V_N) 等于同相輸入電壓 (V_P)，并且流過(guò)輸入端的電流為零。

圖 4-1 采用理想運(yùn)放的差分放大器電路

通過(guò)使用 KVL、KCL 和理想運(yùn)放假設(shè)對(duì)圖 4-1 進(jìn)行分析，可得出以下公式。

方程式 10.

V_{N} = V_{P}

方程式 11.

V_{P} = (\frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}}) V_{S i g+}

方程式 12.

V_{O U T} = V_{N} - I_{N} R_{2}

方程式 13.

I_{N} = \frac{V_{S i g-} - V_{N}}{R_{1}}

合并前面的公式可得到方程式 14。

方程式 39.

V_{O U T} = (\frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}}) (1 + \frac{R_{2}}{R_{1}}) V_{S i g+} - (\frac{R_{2}}{R_{1}}) V_{S i g-}

對(duì)方程式 14 進(jìn)行簡(jiǎn)單的代數(shù)重寫(xiě)可得到更直觀的形式，即方程式 15。請(qǐng)注意，在該形式中，方程式 15 表示為電阻分壓器的組合。

方程式 15.

V_{O U T} = \frac{(\frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}}) V_{S i g+} - (\frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}) V_{S i g-}}{(\frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}})}

分析到此處，考慮輸入信號(hào)的差分和共模電壓分量是有用的。在圖 4-2 中，差分放大器電路被重新繪制，以將輸入電壓顯示為差分和共模電壓源的組合。這表明 V_Sig+ 和 V_Sig- 均由輸入差分電壓的一半組成，極性相反，以輸入共模電壓為基準(zhǔn)，如方程式 16 和方程式 17 所示。

方程式 16.

V_{S i g+} = V_{C M} + \frac{V_{D i f f}}{2}

方程式 17.

V_{S i g-} = V_{C M} - \frac{V_{D i f f}}{2}

圖 4-2 具有差分和共模輸入信號(hào)的差分放大器

考慮輸入信號(hào)的差分和共模分量，重寫(xiě)方程式 15 可得出方程式 18。

方程式 18.

V_{O U T} = \frac{(\frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}}) (V_{C M} + \frac{V_{D i f f}}{2}) - (\frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}) (V_{C M} - \frac{V_{D i f f}}{2})}{(\frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}})}

利用疊加，可以獨(dú)立考慮差分和共模電壓分量，如圖 4-3 和圖 4-4 所示。對(duì)方程式 18 應(yīng)用疊加可得出方程式 19 定義的差模傳遞函數(shù)和方程式 20 定義的共模傳遞函數(shù)。

方程式 19.

A_{D} = \frac{V_{O U T}}{V_{D i f f}} = \frac{1}{2} \frac{(\frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}}) + (\frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}})}{(\frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}})}

方程式 20.

A_{C M} = \frac{V_{O U T}}{V_{C M}} = \frac{(\frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}}) - (\frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}})}{(\frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}})}

圖 4-3 疊加：差分模式

圖 4-4 疊加：共模

將差分和共模增益公式與方程式 3 中 CMRR 的定義相結(jié)合，可得出方程式 21。

方程式 21.

C M R R = \frac{1}{2} \frac{(\frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}}) + (\frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}})}{(\frac{R_{4}}{R_{3} + R_{4}}) - (\frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}})}

從這種形式可以清楚地看出，電阻器網(wǎng)絡(luò)的 CMRR 由兩個(gè)電阻分壓器 R₂/R₁ 和 R₄/R₃ 之間的差異決定。CMRR 公式也可以用下面的形式表示，用于節(jié) 5和節(jié) 6的分析。

方程式 22.

C M R R = \frac{1}{2} \frac{2 R_{2} R_{4} + R_{1} R_{4} + R_{2} R_{3}}{R_{1} R_{4} - R_{2} R_{3}}